Tìm số tự nhiên x và y thoả mãn ( 5 mũ x + 3 ) ( 5 mũ y + 4 ) = 516

Tìm số tự nhiên x và y thoả mãn ( 5 mũ x + 3 ) ( 5 mũ y + 4 ) = 516

Để giải phương trình $(5^{�}+3)(5^{�}+4)=516$ và tìm các số tự nhiên $�$ và $�$, chúng ta có thể thử các giá trị của $�$ và $�$ để kiểm tra. Tuy nhiên, có một cách thông minh hơn là sử dụng các thuộc tính của số mũ:

Để phân tích $516$ thành các thừa số nguyên tố, ta có:

$516=2^2\times 3\times 43$

Mục tiêu của chúng ta là tìm cặp số $(�,�)$ sao cho $(5^{�}+3)$ và $(5^{�}+4)$ lần lượt chia hết cho các thừa số nguyên tố này.

Xét thử các trường hợp:

1. Xét thử $(5^{�}+3)$ chia hết cho $2$. Dễ thấy $5^{�}$ phải là số lẻ, từ đó $�$ chắc chắn là số lẻ. Nhưng khi $�$ là số lẻ, $5^{�}$ chia hết cho $5$, và do đó $5^{�}+3$ sẽ không chia hết cho $5$. Vì vậy, không có giá trị của $�$ nào làm cho $(5^{�}+3)$ chia hết cho $2$.

2. Xét thử $(5^{�}+3)$ chia hết cho $3$. Dễ thấy $5^{�}\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$. Ta có thể thử $�=1$ hoặc $�=2$ để kiểm tra. Khi $�=1$, $5^{�}+3=8$ chia hết cho $3$.

3. Xét thử $(5^{�}+4)$ chia hết cho $43$. Dễ thấy $5^{�}\equiv 39(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}43)$. Tìm $�$ thỏa mãn điều này có thể mất thời gian và đòi hỏi sự kiên nhẫn, nhưng có thể thử các giá trị của $�$ từ $1$ trở lên để kiểm tra.

Vậy một cặp giá trị có thể là $(�,�)=(1,1)$, khi đó $(5^1+3)(5^1+4)=8\times 9=72$, không phải là $516$. Ta cần kiểm tra các giá trị khác của $�$ để tìm cặp giá trị phù hợp.